Анатолий Григорьевич Ачкасов родился 18 октября 1923 года в деревне Букреевка Щигровского района Курской области в семье крестьянина. Окончив семь классов школы, с 1938 по 1941 год учился в Щигровском сельскохозяйственном техникуме.
В сентябре 1941 года был призван в ряды Красной Армии. В 1942 году окончил Камышинское военное танковое училище. Сражался на Северо-Западном и 1-м Украинском фронтах. Был командиром взвода, командиром роты, заместителем командира батальона. Участвовал в освобождении Украины, Польши, Чехословакии. В боях был трижды ранен, не раз горел в танке.
За образцовое выполнение боевых заданий и проявленные мужество и героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года командиру танковой роты старшему лейтенанту Ачкасову Анатолию Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза.
Участник Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади. Был демобилизован в декабре 1945 года.
После войны Анатолий Григорьевич активно участвовал в восстановлении народного хозяйства Белгородчины. Был директором конторы «Заготзерно» в Белгородском районе, уполномоченным Министерства заготовок по району, начальником сельхозуправления района, с 1955 по 1965 год возглавлял колхоз «Путь Ильича». В 1981 году вышел на пенсию, жил в Белгороде.
Награжден орденом Ленина, орденами Красного Знамени, Отечественной войны I степени, медалью «За отвагу», медалью «За заслуги перед землей Белгородской» I степени. За мужество и отвагу, проявленные во время Великой Отечественной войны, и активную трудовую деятельность в послевоенные годы удостоен звания «Почётный гражданин города Белгорода». Также является почётным гражданином города Щигры Курской области.
Скончался Анатолий Ачкасов 20 сентября 2018 года.